Lógica Matemática

Frege é considerado o verdadeiro pai da lógica matemática, embora ele não tenha sido reconhecido como tal, em sua época. Pois coube a esse a inovação e união da lógica com a matemática, que até Aristóteles era unida com a metafísica.

A lógica clássica, da época de Aristóteles, não atendia às necessidades de Frege, porque admitia como valores lógicos apenas: o verdadeiro, o falso, e o uso da linguagem natural. O uso dessa linguagem era insuficiente, imperfeito e as leis da aritmética, que Frege pretendia provar, por meio da lógica eram complexas para serem demonstradas pela linguagem gramatical.

Frege estabelece a distinção entre conceito e objeto: Conceito é aquilo que se refere ao objeto - Objeto é um conteúdo do pensamento, um argumento, algo determinado, e nunca uma função, que se expressa como um lugar vazio a ser preenchido. Frege também estabelece outra distinção, entre sentido e referência, onde duas expressões podem ter sentidos diferentes, mas a mesma referência, ou referem-se ao mesmo objeto. Exemplo: “estrela da manhã” e a “estrela da tarde”, sentidos diferentes, mas a referência é a mesma, planeta Vênus. 

Antes de Frege, com a lógica natural (Aristóteles), a linguagem estava sujeita a erros do pensamento. E a palavra podia designar tanto o conceito, quanto o objeto. A linguagem dava margem a uma interpretação ambígua. Frege criou um conjunto de sinais escritos, de forma rigorosamente lógica, que não dava espaço para erros ou dúvidas.

Frege é o primeiro a introduzir o uso moderno das variáveis, dos quantificadores, e dos cálculos clássicos dos enunciados. Isso faz com que a lógica clássica, que não havia avançado com Aristóteles, caminhe e tome um novo rumo, distanciando-se da gramática.

A lógica Fregeana substitui a estrutura gramatical da frase por “ função, argumento”, antes “ sujeito, cópula, atributo”. A partir de Frege a frase passa a ser escrita F(A) onde F é a função e A o argumento. A “função” é o elemento constante da frase, que representa a relação, enquanto o “argumento” é o elemento substituível. Em lógica moderna, uma frase é escrita f(x) onde x satisfaz a função f, podendo ainda ser acrescentado os quantificadores.

Algumas diferenças entre Aristóteles e Frege.

• A lógica em Aristóteles utilizou-se de enunciados e proposições, e a lógica moderna utiliza-se de quantificadores.
• Aristóteles considerava a matemática inferior como instrumento para o pensamento filosófico. Já os filósofos modernos consideram a lógica como inferior.
• A lógica formal (ou lógica Aristotélica), chamada assim por se interessar apenas pela forma do raciocínio, consiste numa investigação das categorias e princípios pelos quais pensamos sobre as coisas: lógica das proposições; lógica do raciocínio; e lógica do conceito.

Assim, o objetivo de Frege era a construção de uma linguagem formal do pensamento puro, que através de uma escrita simbólica, pudesse sanar os problemas decorrentes da inadequação da linguagem natural. Escrita essa, que permitiu reformular a silogística tradicional de Aristóteles, que defendia expressões como: ”todos ou alguns”; “qualquer ou cada um”; “nada ou nenhum”. Esse método novo de Frege utilizou-se da expressão algébrica, onde há a introdução de valores de verdade, como valores possíveis de expressão.